Crecimiento y concavidad de una función

 

 

1 En el siguiente gráfico hemos representado la función :

 

 

Y la recta tangente       en un punto de abscisa    a la gráfica de.

 

Recuerda que 

 

 

 

Desplazando el punto  trata de predecir aproximadamente las abscisas   de los puntos para los cuales   y para los cuales   no existe. Dibuja en tu cuaderno un croquis de la función  e indica convenientemente los puntos y las abscisas de los mismos.

 

 

2 En el siguiente gráfico hemos representado juntas a

 

 

Observa en la gráfica de  los puntos en que esta se anula, y en los que no existe. ¿Coinciden con las predicciones que efectuaste anteriormente?

Como resultado de las predicciones y la comparación de las gráficas de  ¿cuál de las siguientes proposiciones, conjeturas que es la verdadera?

 

  •  

 

 

 

 

¡Podemos asegurar!

 

 (Lema de Fermat)

¿La recíproca de la anterior, es verdadera? Muestra tu razonamiento.

 

¿?

 

 

3 En el siguiente gráfico hemos representado   en los intervalos donde 

 

 

En estos intervalos la función   es: ¿creciente o decreciente?

 

 

4 En el siguiente gráfico hemos representado    en los intervalos donde  

 

 

En estos intervalos la función  es: ¿creciente o decreciente?

 

 

Si  en un punto, no es una condición suficiente que me permita conjeturar  la existencia de un máximo o un mínimo relativo.

¿Qué condiciones debe cumplir    además de ser igual a cero para poder asegurar la existencia o no, en un punto, de un máximo, un mínimo o ninguna de las dos cosas?

 

 

5 En el siguiente gráfico hemos representado las siguientes funciones:

 

   

 

Y la recta tangente    en un punto de abscisa     a la gráfica de.

 

Recuerda que  

 

 

Observando la gráfica de    trata de predecir aproximadamente las abscisas   de los puntos para los cuales . Dibuja en tu cuaderno un croquis de la función   e indica convenientemente los puntos y las abscisas de los mismos.

Calcula .

 

 

6 En el siguiente gráfico hemos representado juntas a

 

 

Observa en la gráfica de  los puntos en que esta se anula, ¿Coinciden con las predicciones que efectuaste anteriormente?

Cuando una función continua, cambia de concavidad en un punto y la derivada segunda se hace cero en dicho punto,  este punto resulta ser un punto de inflexión.

 

Un punto  es un punto de inflexión si cumple las tres condiciones siguientes:

 

  • es continua en
  • Cambia la concavidad en

 

¡Entonces podemos asegurar!

 

 

¿La recíproca de la anterior, es verdadera? Muestra tu razonamiento.

 

¿?

 

 

Conclusión: Si  , no es una condición suficiente que me permita conjeturar  la existencia de un punto de inflexión en p.

¿Qué condiciones debe cumplir  además de ser igual a cero para poder asegurar la existencia o no de un punto de inflexión?